HIMPUNAN

HIMPUNAN 
Matematika SMP Kelas 7

A.  Konsep Himpunan

1.   Pengertian Himpunan

Kali ini kita akan membahas materi Himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang elemen/anggota-anggotanya bisa didefinisikan dengan jelas serta mempunyai nilai kebenaran yang pasti yakni benar saja atau salah saja. Artinya nilai keberannya tidak bersifat relative.

 

Contoh Himpunan
1. Kumpulan hewan pemakan rumput, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu kelinci, kambing, sapi, kerbau.

2. Kumpulan hewan berkaki dua, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu ayam, angsa, burung.
3. Kumpulan bilangan prima kurang dari 7, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu 2,3,5.

4. Kumpulan alat-alat music, angggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu seruling, giitar, kendang, piano.

Contoh Bukan Himpunan
1. Kumpulan rumah-rumah indah, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena setiap orang mempunyai pandangan sendiri-sendiri seperti apa rumah yang indah. Artinya rumah indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain.
2. Kumpulan makanan lezat, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena lezat menurut seseorang belum tentu lezat menurut orang yang lain. Hal ini biasanya disebut dengan relatif.

3. Kumpulan baju yang bagus, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena bagus menurut seseorang belum tentu bagus menurut orang yang lain.

 

2.   Lambang Himpunan

Dalam matematika, himpunan dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, D, E,…Z. Objek-objek himpunan ditulis di antara tanda kurung kurawal. Objek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota atau elemen.

Contoh:

A adalah himpunan bilangan genap kurang dari 8, dapat ditulis

A = {2,4,6}

 

3.   Anggota Himpunan

Anggota himpunan dinotasikan dengan “∈”. Sedangkan bukan anggota himpunan dinotasikan “∉”.

Misalkan himpunan A = {Anggrek, Mawar, Melati}.

Maka Anggrek ∈ A, Mawar ∈ A (dibaca Anggrek anggota himpunan A, Mawar anngota himpunan A).

Kamboja ∉ A (dibaca Kamboja bukan anggota himpunan A)

Banyaknya anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n (A).

Jika A = { Anggrek, Mawar, Melati } maka n (A) = 3.

 

4.   Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu:

Metode Deskripsi	Metode Roster	Metode Rule
Metode deskripsi yaitu cara menyatakan himpunan dengan kata-kata. Contoh : P adalah bilangan ganjil kurang dari 5	Metode roster yaitu cara menyatakan himpunan dengan menuliskan anggotanya satu-persatu. Contoh: P = {1, 3}	Metode rule yaitu cara menyatakan himpunan dengan menuliskan aturannya.  Contoh: (p|p bilangan ganjil < 5)

B.  Diagram Venn

1.   Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan { } atau ∅.

Contoh 1:

A adalah nama hari yang diawali huruf Z

Keterangan: tidak ada nama hari yang diawali huruf Z, jadi A ={ }

Contoh 2:

B adalah bilangan prima antara 7 dan 10

Keterangan: tidak ada bilangan prima antara 7 dan 10, jadi B = { }

2.   Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

Untuk lebih memahami himpunan semesta, perhatikan contoh berikut!

Contoh 1:

N = {sendok, garpu, piring, gelas}

Himpunan di atas menunjukkan kumpulan dari peralatan makan.

Jika N = {sendok, garpu, piring, gelas}, maka semesta pembicaraan dari himpunan N adalah himpunan S = {peralatan makan}.

S adalah semesta dari N karena himpunan S memuat semua anggota himpunan N.

Contoh 2:

V = {harimau, kucing, anjing, monyet, sapi}

Himpunan di atas menunjukkan kumpulan dari hewan mamalia.

Jika V = {harimau, kucing, anjing, monyet, sapi }, maka semesta pembicaraan dari himpunan V adalah himpunan S = {hewan mamalia}.

S adalah semesta dari V karena himpunan S memuat semua anggota himpunan V.

 

3.   Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang menampilkan korelasi atau hubungan antarhimpunan yang berkesuaian dalam suatu kelompok. Diagram ini dicetuskan oleh ilmuwan asal Inggris John Venn. Keuntungan yang diperoleh dengan adanya diagram Venn ini adalah hubungan antarhimpunan lebih mudah dipahami. 

Untuk membuat diagram Venn, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut.

1.   Himpunan semesta (S) dinyatakan dalam bentuk persegi panjang. Himpunan semesta adalah semua anggota himpunan yang di dalamnya memuat himpunan yang sedang menjadi fokus pembahasan.

2.   Himpunan lain yang menjadi fokus pembahasan dinyatakan dalam bentuk lingkaran atau kurva tertutup.

3.   Anggota setiap himpunan dinyatakan dalam bentuk titik atau noktah.

4.   Jika anggota himpunannya tak terhingga, masing-masing anggota tidak perlu dinyatakan sebagai titik.

 

Contoh 1:

Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!

S = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {3,5,7}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

Jawab:

Perhatikan A dan B!

Ada anggota A yang juga menjadi anggota B. 

Ini dinamakan irisan, A ⋂ B = {3,5}.

Diagram Venn yang sesuai dengan himpunan tersebut adalah sebagai berikut. 

4.   Himpunan  Bagian

Diketahui terdapat himpunan-himpunan:

P = {3, 4, 5}

Q = {1, 2, 3, 4, 5}

Dari himpunan di atas, bisa kita simpulkan bahwa:

Semua anggota himpunan P merupakan anggota himpunan Q. Dikatakan  bahwa P himpunan bagian dari Q, ditulis P ⊂ Q.

Keterangan:

Ø  Himpunan P merupakan himpunan bagian dari Q ditulis P ⊂ Q jika setiap anggota P juga merupakan anggota Q

Ø  Himpunan P bukan merupakan himpunan bagian dari Q ditulis P ⊄ Q jika ada anggota P yang bukan merupakan anggota Q

 

a.   Menentukan semua himpunan bagian dari suatu himpunan

Diketahui B = {3,4,5,6}

Tentukan himpunan bagian dari B yang memiliki:

a.   Satu anggota

b.   Dua anggota

c.    Tiga anggota

d.   Empat anggota

Jawab:

a.   Himpunan bagian B yang memiliki satu anggota adalah

{3}⊂B

{4}⊂B

{5}⊂B

{6}⊂B

b.   Himpunan bagian B yang memiliki dua anggota adalah

{3,4}⊂B

{3,5}⊂B

{3,6}⊂B

{4,5}⊂B

{4,6}⊂B

{5,6}⊂B

c.    Himpunan bagian B yang memiliki tiga anggota adalah

{3,4,5}⊂B

{3,4,6}⊂B

{3,5,6}⊂B

{4,5,6}⊂B

d.   Himpunan bagian B yang memiliki empat anggota adalah

{3,4,5,6}⊂B

 

b.   Menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

Banyaknya Himpunan Bagian ditentukan dengan rumus 2ⁿ

Contoh:

Diketahui himpunan C adalah bilangan ganjil kurang dari 7. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari C!

Jawab:

C = {1,3,5}

n (C) = 3

banyaknya himpunan bagian dari C = 2ⁿ = 2³ = 8.

Jadi banyaknya himpunan bagian dari C bilangan ganjil kurang dari 7 adalah 8.